Il s’agit d’étendre la notion de mode linéaire. En dynamique, les principaux avantages bien connus et très utilisés sont les suivants : modes et fréquences propres résultent de la résolution (théorique et numérique) d’un problème aux valeurs propres (fréquences) et vecteurs propres (modes) qui permet de résoudre simultanément la question des réponses oscillantes, des états vibratoires (asymptotiques), de la stabilité et de l’instabilité, en utilisant le découplage sur la base des modes du problème initial. On utilise aussi abondamment la propriété de superposition des réponses de chaque mode (synthèse modale). La théorie linéaire fournit des discrétisations, des approximations maîtrisées : la réduction de modèles est aussi bien comprise. Il est possible d’obtenir les réponses vibratoires et également par le biais des mêmes outils théoriques de procéder à l’identification des paramètres modaux et donc d’un modèle d’une structure.

La notion de modes non linéaires, historiquement introduite par Rosenberg [1], élargie ensuite via différentes approches (théorie de la variété centrale, formes normales) a fait l’objet de nombreux travaux [2-15, 94, 96] : ces références ne constituent qu’un tout petit extrait de la littérature (Les références du texte reposent sur un parti pris : fournir un extrait des travaux de membres du groupe, loin d’être exhaustif). Il faut noter qu’historiquement les approches ont concerné les systèmes à peu de degré de liberté et les méthodes très puissantes sont de nature d’abord analytique plus que numériques. Un mode non linéaire peut être vu comme une variété invariante (asymptotique) sur laquelle s’effectuent les oscillations (les vibrations) du système non linéaire considéré. L’invariance est associée à la résolution d’une sorte de problème aux valeurs propres non linéaire. On comprend alors aisément que certaines des propriétés des modes linéaires vont être préservées (la réduction de modèle à la dimension de la variété ; l’attractivité de la variété) mais que d’autres ne seront qu’au mieux approchées (les résonances et les fréquences de résonance dépendent des amplitudes; le nombre de modes peut être plus élevé que le nombre de degrés de liberté ; la superposition des modes non linéaires est impossible en général).

Les enjeux sont toutefois clairs : l’analogie entre les modes linéaires et les modes non linéaires -au prix de développements existants ou à mener- peut apporter au dynamicien des structures de nombreux avantages des premiers : économie de calculs et modèles réduits, identification de modèles sur un modèle de dimension réduite, synthèse rapide des réponses, quantification de la stabilité / instabilité, convergence asymptotique vers la variété, etc. Les modes non linéaires ont potentiellement de nombreuses applications aux problèmes d’évolution et aux nombreuses applications multi et pluri disciplinaires associées.

Aujourd’hui, les problèmes ouverts concernent principalement :

- le perfectionnement des outils de calcul,
- le calcul des modes non linéaires pour des systèmes en grande dimension, par exemple en élargissant les calculs menés par des méthodes analytiques à des calculs numériques utilisant les possibilités des codes de calculs usuels (éléments finis par exemple), permettant le traitement de systèmes continus (plaques, coques, …), de systèmes complexes,
- la gestion de non linéarités non régulières en petite ou grande dimension,
- l’utilisation des modes pour la réduction de modèles en petite et surtout grande dimension,
- l’élargissement des applications.

 

B. Cochelin, C. Touzé